?1. In einer Fabrik werden gelbe und rote Luftballons hergestellt, gemischt und anschließend rein zufällig in Tüten zu je 50 Stück abgepackt. Bei diesem Vorgang beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass ein roter Luftballon in die Tüte gefüllt wird, 60%.
1.1. Mit welcher Wahrscheinlichkeit treten die folgenden Ereignisse auf?
A: In einer Tüte befinden sich mehr als 33 rote Luftballons.
B: In einer Tüte befinden sich wenigstens 25, höchstens aber 35 rote Luftballons.
C: In einer Tüte befinden sich höchstens 10 gelbe Luftballons.
D: In einer Tüte befinden sich gleich viele rote und gelbe Luftballons.
1.2. Für welchen Tüteninhalt ist die Wahrscheinlichkeit für die Füllung maximal? Begründen Sie Ihre Aussage! Wie groß ist dieser Wert der Wahrscheinlichkeit?
1.3. Die Herstellungskosten für 100 rote Luftballons belaufen sich auf 2 €, die für 100 gelbe auf 2,50 €. Für welchen Preis muss eine Tüte verkauft werden, wenn der Verkaufspreis um 120% über den Herstellungskosten liegen soll?
1.4. In einem Karton liegt der Inhalt von 4m Tüten, wobei die Verteilung der roten zu den gelben Luftballons wie 3 : 1 ist. Diesem Karton werden auf gut Glück zwei Luftballons nacheinander ohne Zurücklegen entnommen. Die Zufallsgröße Z gebe die Anzahl der gezogenen roten Luftballons an.
1.4.1. Bestimmen Sie in Abhängigkeit von m die Verteilung der Zufallsgröße.
1.4.2.
Für welchen Wert von m beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass zwei rote
Luftballons gezogen werden
?
1.4.3. Nun sei m=3. Es werden 50 Luftballons rein zufällig entnommen. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass mehr rote als gelbe entnommen werden. Hinweis: Verwenden Sie das Ziehen mit Zurücklegen als Näherung.
1.4.4. Es gelte weiterhin m=3: Wie viele Luftballons müssen mindestens mit Zurücklegen entnommen werden, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als 99% wenigstens einen gelben zu erhalten?
2. Bei der Herstellung der Luftballons weisen von 1000 Luftballons 100 einen Farbfehler auf und 25 sind nicht luftdicht. Es sollen nur diese beiden Fehlerarten unabhängig voneinander auftreten.
2.1. Untersuchen Sie die Ereignisse E1: „Der Luftballon besitzt weder einen Farbfehler noch ist er undicht“ und E2: „Der Luftballon besitzt höchstens einen der beiden Fehler“ auf Unabhängigkeit! (Vierfeldertafel)
2.2. Die Luftballons werden wieder in Tüten zu je 50 Stück verpackt. Aus der Tüte werden rein zufällig drei Luftballons zu Kontrollzwecken mit Zurücklegen entnommen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit
2.2.1. sind alle drei in Ordnung?
2.2.2. ist der dritte entnommene der erste mit einem Fehler
2.2.3. sind der erste und der dritte entnommene ohne Fehler?
2.3. Eine Erhöhung der fehlerhaften Luftballons ist allein durch die Erhöhung des Farbfehlers zustande gekommen. Wie groß ist jetzt die Wahrscheinlichkeit für einen Farbfehler, wenn die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses E1 aus Teilaufgabe 2.1 auf 78% abnimmt)